225 - un curieux nombre! (01)

A l’occasion de la commémoration du 225^e anniversaire de la fondation de la Ville de Carouge, qui cumule avec le centenaire de notre école, il a été décidé que le cortège de la Fête des Ecoles serait décoré en référence à ce nombre. Nous avons reçu le mandat de préparer des panneaux A3 avec toutes sortes de calculs donnant ce nombre 225.

La consigne était : «Organisez votre recherche en explorant différents procédés de décomposition. Essayez de trouver des solutions esthétiques, curieuses, remarquables…»

Nous avons immédiatement réalisé que sans contraintes, sans restrictions, on pouvait réaliser une infinité d’additions ou de soustractions assez banales comme

225 = 110 + 115   ou  100 – 775 = 25

Nous avons opté alors pour des séries de nombres consécutifs ou avec des sauts réguliers comme

225 = 43 + 44 + 45 + 46 + 47     ou     225 = 65 + 75 + 85

Nous avons alors gardé les suites de nombres impairs consécutifs :

225 = 73 + 75 + 77

225 = 41 + 43 + 45 + 47 + 49

225 = 17 + 19 + 21+ 23 + 25 + 27 + 29 + 31 + 33

225 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 +  21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 15²

Ce qui est la somme des quinze premiers nombres impairs… pas mal pour le carré de 15 ! Nous avons été intrigués de découvrir que cette «curiosité» (ou particularité) fonctionnait  avec toute suite, grande ou petite, des nombres impairs :

144 = 12² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23

(les 12 premiers impairs)

49 = 7² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13

(les 7 premiers impairs)

16 = 4² = 1 + 3 + 5 + 7

(les 4 premiers impairs)

9 = 3² = 1 + 3 + 5

(les 3 premiers impairs)

etc.